괴델은 수학적 개념에 자연수를 할당한 후 괴델 수를 도입하여 그의 불완전성 정리를 증명하였다. 이를 이해하기 쉽게 단순화하여 저자는 다음과 같은 예를 들어 설명한다.
... "This sentence is unprovable." Now if the statement is not provable, then what it says is true. If, on the other hand, the sentence is provable, it is not true, or, by standard logic, if true, it is not provable. Hence the sentence is true if and only if it is not provable. Thus the result is not a contradiction but a true statement which is unprovable or undecidable. (p. 262)
"이 문장은 증명 불가능하다." 이 진술을 G라고 부르자. 만약 G가 증명 불가능하면 G는 참이다. 반대로, 만약 G가 증명 가능하면 G는 참이 아니다. 여기에 표준 논리 규칙(대우 규칙)을 적용하면 다음을 얻는다. G가 참이면 G는 증명 불가능하다. 따라서 앞과 결합하여 G는 증명 불가능한 경우 그리고 그 경우에만 참이다. 모순이 나타나는 것이 아니라 증명 불가능한 참인 진술을 얻는다.
괴델의 불완전성 정리의 의미:
Thus Gödel's incompleteness theorem asserts that no system of mathematical and logical axioms that can be arithmetized in some manner such as Gödel used is adequate to encompass all the truths of even that one system, to say nothing about all of mathematics, because any such axiom is incomplete. (p. 263)
괴델이 사용한 것과 같은 방식으로 '산술화'할 수 있는 모든 수학적, 논리적 공리 체계는 그 체계의 모든 '진리들'을 포괄하기에 충분치 않다. 하물며 수학 전체는 말할 것도 없다. 이러한 공리들은 불완전(증명할 수 없는 진술을 포함)하기 때문이다.
