(논리학 연습- Russell의 한정기술구 분석에서 존재구절과 유일성구절 결합식들 및 상호동치관계 증명)
그 FThe F =df
단 하나의 F한 것이 존재한다.
F한 것이 존재하고 기껏해야 하나 존재한다.
(존재구절과 유일성 구절의 연언)
존재구절
F한 것이 존재한다.
그러한 x가 존재한다(x는 F하다).
(∃x)Fx
유일성구절
F한 것은 기껏해야 하나 존재한다.
부정: 그러한 x와 y가 존재한다(x는 F하고 y는 F하고 x와 y는 동일하지 않다).
∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y)
유일성 구절
∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y)
변형
≡(∀x)(∀y)∼(Fx&Fy&x≠y)
≡(∀x)(∀y)(∼(Fx&Fy)∨x=y)
≡(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
존재구절과 유일성 구절의 결합 형태들
가.
(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
나.
(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
다.
(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)
동치관계 증명 (가↔나, 나↔다)
가→나: (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
1.
(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
전제
2.
(∃x)Fx
1, &제거
3.
Fa
2, ∃제거
4.
(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
1, &제거
5.
(∀y)((Fa&Fy)→a=y)
4, ∀제거
6.
b
(Fa&Fb)→a=b
5, ∀제거
7.
Fb
가정
8.
Fa&Fb
3, 7, &도입
10.
a=b
6, 8, →제거
11.
Fb→a=b
7-10, →도입
12.
(∀y)(Fy→a=y)
6-12, ∀도입
13.
Fa&(∀y)(Fy→a=y)
3, 12, &도입
14.
(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
13. ∃도입
나→가: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
1.
(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
전제
2.
Fa&(∀y)(Fy→a=y)
1, ∃제거
3.
Fa
2, &제거
4.
(∃x)Fx
3, ∃도입
5.
(∀y)(Fy→a=y)
2, &제거
6.
b
c
Fb&Fc
가정
7.
Fb
6, &제거
8.
Fb→a=b
5, ∀제거
9.
a=b
7, 8, →제거
10.
Fc
6, &제거
11.
Fc→a=c
5, ∀제거
12.
a=c
10, 11, →제거
13.
b=c
9, 12, =제거
14.
(Fb&Fc)→b=c
6-13, →도입
13.
(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
6-14, ∀도입
14.
(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
4, 13, &도입
나→다: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)(∀y)(Fy↔x=y)
1.
(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
전제
2.
Fa&(∀y)(Fy→a=y)
1, ∃제거
3.
Fa
2. &제거
4.
(∀y)(Fy→a=y)
2. &제거
5.
b
Fb→a=b
4, ∀제거
6.
a=b
가정
7.
Fb
3, 6, =제거
8.
a=b→Fb
6, 7, →도입
9.
Fb↔a=b
5, 8, ↔도입
10.
(∀y)(Fy↔a=y)
5-9, ∀도입
11.
(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)
1, ∃도입
다→나: (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
1.
(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)
전제
2.
(∀y)(Fy↔a=y)
1. ∃제거
3.
Fa↔a=a
2. ∀제거
4.
a=a
=도입
5.
a=a→Fa
3, ↔제거
6.
Fa
4, 5, →제거
7.
b
Fb↔a=b
2, ∀제거
8.
Fb→a=b
7, ↔제거
9.
(∀y)(Fy→a=y)
7-8, ∀도입
10.
Fa&(∀y)(Fy→a=y)
6, 9, &도입
11.
(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
10, ∃도입
11.
(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)
1, ∃도입
