"최근 Frege식 논리주의적 접근법의 변형태가 활발히 논의되기 시작했다. 이는 Chrispin Wright〔1983〕에서 시작하여 Bob Hale〔1987〕, Neil Tennant〔1897, 1997〕 등의 작업을 통해 진행되었다(6章). 이 방향의 기본 착상은 외연 개념을 취급하지 않고 우회하여 (완전히 非가술적인) Hume의 원리 내지 그에 준하는 원리를 직접 취급함으로써 논리주의적 작업을 완수하는 것이다. 2계 산술이 일관적이라면 Hume의 원리는 2계논리와 일관되는바(Boolos〔1897〕와 Hodes〔1894〕 참조), 따라서 이 프로그램은 적어도 Frege의 체계가 지녔던 식의 非일관성으로 인해 무너지지는 않게 된다. 하지만 그로부터 어떤 철학적 의의를 끌어낼 수 있는가? 新논리주의자neologicist의 접근법에서 Hume의 원리는 ‘수’ 개념을 설명explanation해주는 것으로 간주된다. 新논리주의 프로그램의 옹호자는 주장하길 Hume의 원리 자체는 분석적이지 않지만(즉 의미에 의해 참은 아니지만), 우리가 기수 개념을 일단 온전히 파악하고 나면 그 원리를 선험적으로 알 수 있게 된다고 한다. Hume의 원리는 암묵적 정의implicit definition와 유사하다. Frege가 고유하게 발전시킨 기술적 장치들이 보여주는 바는, 고계(高階)논리higher-order logic로 표현된 Hume의 원리로부터 Peano 공리계가 도출될 수 있다는 것이다. 기실 Frege가 외연 개념을 사용해야만 했던 본질적인 이유는 Hume의 원리를 이끌어내기 위함이었다. 그리고 수와 연관된 여타 원리들은 바로 그렇게 이끌어내진 Hume의 원리로부터 따라 나온다. 따라서 Hume의 원리가 지닌바 우월한 인식론적 지위와 동일한 지위를 (2계논리 내에서의 연역이 그러한 지위를 보존해준다는 가정 하에) 산술의 기초 명제들도 누리게 되는 셈이다. 요컨대 新논리주의는 산술의 명제들이 어떻게 알려지는지를 보여주려는 再구성적인 기획이다.
新논리주의자(및 Frege주의자)가 발전시킨 체계는 본질적으로 다음과 같은 사실에 의존해 있다: Hume의 원리의 정식화에서 어구 ‘F의 수’에 포함된 변항 F는, 그 자체로 수의 측면에서 정의되는 개념에 의해 예화(例化)된다instantiate[즉 수 개념에 의존하여 정의되는 개념을 논항으로 취한다?]는 점에서, Hume의 원리는 非가술적이다. 이러한 특성이 없다면 Hume의 원리로부터 Peano 공리계를 도출하는 일은 실패할 것이다. 이러한 非가술성은 Frege와 그 추종자들이 견지한 존재론적 실재론과 부합한다. 실제로 新논리주의자들은 주장하길, Hume의 원리의 대입례에서 쌍조건 연결사 좌변과 우변은 동일한 진리치를 갖지만, 진정한 논리적 형식을 제공하는 부분은 좌변이라고 말한다. 즉 ‘F의 수’와 같은 어구는 독립적 대상으로서의 수를 지칭하는 진정한 단칭용어라는 것이다."
Stewart Shapiro, "Philosophy of mathematics and its logic: introduction": S. Shapiro 編. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, 12-3쪽.
1. 新논리주의는 Frege가 직면했던 非일관성을 면하기 위해 Frege의 외연 개념을 버리고 그에 따라 Frege식 논리주의의 존재론적 의의도 과감히 포기한 채, Frege식 기획이 기초산술 및 자연수론에 대해 갖는 설명적⋅인식론적 이점만을 Hume의 원리를 통해 취한 것이라 해석 및 정리해볼 수 있는가? Hume의 원리와 연관된 소위 ‘bad company’ 문제(6章 참조)는 그러한 설명적⋅인식론적 이점을 훼손할 만큼 치명적인가?
2. 新논리주의는 1에서 해석된바 Frege식 논리주의에서 포기된 존재론적 의의를, 일반적인 철학적 실재론을 통해 보강한 셈인가? 新논리주의의 존재론은 논리주의적 작업을 통해 얻어지는 게 아니라 그저 일반적인 실재론을 통해 논리주의의 테두리 외부로부터 부가될 뿐인가? 이러한 해석이 적절하다면, 新논리주의가 Hume의 원리를 갈무리함으로써 취하는 인식론적 이점과 일반적인 실재론을 택함으로써 짊어지게 되는 부담 중 어느 쪽이 더 큰가?
