게다가 그는 원의 넓이를 계산하기 위해 작은 다각형을 점점 더 많이 넣어원을 채우는 방법을 사용했다. 이는 현대 수학에서 사용하는 적분 개념의 초기 형태로 볼 수 있다.
- P19
미적분을 배우는 과정은 마치 거대한 그림을 완성하는 것과 같다. 처음엔 각각의 개념이 따로 떨어져 보이지만, 하나씩 배워가며 결국 모든 것이하나로 연결된다는 걸 깨닫게 된다. 우리가 미적분을 무한대, 극한, 미분,적분의 순서로 배우는 이유는 각각의 개념이 다음 단계로 나아가기 위한 기초가 되기 때문이다.
- P28
이후 극한은 어떤 값에 점점 가까워지는 현상을 수학적으로 설명하는단계이다. 극한을 통해 변화의 흐름이나 특정 순간의 값을 정밀하게 이해할 수 있다.
다음으로 미분은 극한을 활용해 특정 순간에 어떤 것이 얼마나 빠르게변하는지 알아내는 방법이다.
마치 새가 비행 중일 때 바로 그 순간의 속도를 측정하는 것과 같다. 마지막으로 적분은 미분과 반대되는 과정으로, 작은 변화들을 모아 전체적인 결과를 계산한다. 예를 들어, 곡선 아래의 넓이를 구하거나, 누전디 양을 확인하는 데 적분을 사용할 수 있다.
- P28
적분은 ‘정적분‘과 ‘부정적분‘으로 나뉘는데, 정적분은 특정 구간의 넓이를 구하는 것이고, 부정적분은 미분 이전의 함수를 찾는 것이다.
- P43
적분은 미분의 역연산이므로 계산된 결과를 미분하여 원래 함수가 나오는지 확인하는 것이 좋다.
- P45
연구자들은 철새의 이동 경로를 분석하여 서식지와 먹이 분포를 파악하고, 새의 비행 원리를 모방한 드론을 개발하며, 항공기의 설계에 새의 날개 구조와 비행 패턴을 적용하고 있다.
예를 들어, 드론의 에너지 효율적인 비행 경로를 설계할 때 새들의 비행모델을 활용하면 더 효율적인 설계를 할 수 있다. 새들의 비행 원리를 분석하여 인공지능 알고리즘을 개발하기도 한다. 새들이 복잡한 환경 속에서 최적의 경로를 찾는 능력을 모방하여, 자율주행 자동차나 로봇의 경로탐색 능력을 향상시키는 데 활용한다.
- P66
적분은 마치 전체 변화를 보여주는 해도(바다의 정보를 담은 지도)와 같다.
미분이 순간 속도를 알려준다면, 적분은 그 순간 속도들을 모두 모아 전체적인 변화량을 알려준다.
예를 들어, 10년 동안 어떤 도시의 인구가 얼마나 늘어날지 알고 싶다면, 매년의 인구 증가율을 적분하여 전체 인구 증가량을 계산할 수 있다.
마치 해도가 전체 항로를 보여주는 것처럼, 적분은 인구 변화의 전체적인 변화량을 보여준다.
- P71
종합해보면, 미적분과 미분방정식은 오염물질의 확산 현상을 이해하고예측하는 데 필수적인 도구이다. 미분은 순간적인 변화를, 적분은 전체적인 양을 계산하며, 미분방정식은 이 모든 것을 통합하여 수학적으로 모델링해 준다. 이 과정을 통해 우리는 복잡한 환경 문제를 체계적으로 분석하고, 효과적인 해결책을 찾아낼 수 있다. 이렇게 수학이 실제 세계에서 중요한 역할을 한다는 점, 참 흥미롭지 않은가?
- P75
예를 들어, ‘지금 1분 동안 몇 %나 충전되었지?‘를 계속 살펴보는 것이다. 이것을 수학적으로 계산하면 미분이다.
- P80
스마트폰 회사는 미적분을 사용해 배터리 충전 속도를 연구하고, 더 효율적인 배터리를 설계한다.
미분은 충전 속도가 변하는 지점을 분석해서 배터리의 안정성을 높이는데 사용된다.
적분은 배터리가 얼마나 많은 전기를 저장할 수 있는지, 총 충전 용량을계산하는 데 사용된다.
- P82
미분은 기온의 ‘순간 변화 속도‘를 알려주는 역할을 한다. 그리고 적분은 하루 동안의 기온 변화를 누적해서 파악하고,이를 바탕으로 평균기온을 계산하는데 사용된다.
- P83
결론적으로, 저축은 단순히 돈을 모으는 행위가 아니라, 시간이 지날수록 돈이 어떻게 변화하고 늘어나는지를 이해하는 과정이다.
이 과정에서 미분은 돈이 늘어나는 속도를 보여주고, 적분은 내가 저축한 돈의 누적된 총합을 계산하는 데 도움을 준다.
- P88
먼저, 비눗방울이 보여주는 핵심원리는 최소화 원리이다. 비눗방울은 동일한 부피를 가진 상태에서표면적을 가장 작게 유지하려고 한다.
이는 비눗막이 표면 장력에 의해 최소 표면적을 유지하려는 자연스러운 현상이다.
- P100
미분은 화면의 밝기를 조절하는 데에도 큰 역할을 한다.
예를 들어, 밤에 스마트폰을 보면 눈이 덜 피곤하다고 느껴질 때가 있는데, 이것은 화면의 어두운 부분은 좀 더 밝게, 너무 밝은 부분은 살짝 어둡게 만드는 기술 덕분이다. 미분은 이런 밝기의 변화 정도를 계산해서 최적의 조명을 만들어 낸다. 덕분에 눈이 더 편안하게 화면을 볼 수 있다.
- P104
또 약물이 우리 몸에서 어떻게 작용하는지도 미적분으로 계산한다. 약물이 몸 안에서 얼마나 오래 머무르고 어디로 흡수되는지 계산해서, 의사들은 환자에게 적절한 약물의 양과 투여 방법을 결정할 수 있다. 이를 통해 약물 치료가 보다 안전하고 효과적으로 이루어질 수 있다.
미적분은 심장 박동을 분석하거나 폐의 기능을 평가하는 데에도 사용된다. 심장이 뛰는 신호를 시간에 따라 분석하고, 호흡 과정에서 공기가 움직이는 속도와 양을 계산할 수 있다. 이를 통해 건강 상태를 더 잘 이해하고, 적절한 치료 방법을 찾을 수 있다.
- P109
종양의 성장 속도를 예측하는 것은 치료 계획을 세우는 데 필수적인 요소이다. 생리학적 모델링은 미분방정식을 사용하여 시간에 따른 종양의크기 변화를 계산하고, 이를 기반으로 종양이 어떻게 자랄지를 예측한다.
이를 통해 의사들은 치료가 얼마나 효과적인지를 평가할 수 있다. 예를 들어, 항암 치료가 종양의 성장을 얼마나 늦췄는지, 혹은 멈췄는지를 확인함으로써 더 나은 치료 전략을 세울 수 있다.
- P121
미분은 렌즈 표면의 곡선에서 각 지점의 기울기를 구해 빛이 통과하며어떤 경로로 굴절될지를 예측하는 데 사용되며, 적분은 렌즈의 전체 표면적을 계산하거나 렌즈 설계의 최적화를 통해 빛의 왜곡 현상인 수차를 줄이는 데 활용된다.
- P123
여기서 쓰이는 수학적 개념인 편미분은 시간의 변화와 공간의 변화를따로 계산할 수 있게 해주며, 땅이 한 순간에 얼마나 흔들리는지, 그리고그 흔들림이 얼마나 빠르게 넓은 지역으로 퍼져나가는지를 구체적으로 분석할 수 있다.
- P130
예를 들어, 지진파의 진폭(흔들림의 크기)이 시간에 따라 달라지기 때문에이를 모두 더해 지진이 방출한 전체 에너지를 계산할 수 있다. 이는 마치하나하나의 작은 퍼즐 조각을 모아서 완성된 큰 그림을 만들어내는 것처럼 이해할 수 있다. 이런 방식으로 과학자들은 지진이 방출한 에너지를 측정하고 그 힘이 어느 정도였는지 계산할 수 있다.
- P131
이는해류의 속도와 방향은 시간에 따라 끊임없이 변화하기 때문에 이를 추적하고 분석하기 위해 미분이 사용되며, 이는 강물의 흐름을 이해하기 위해물의 속도와 이동량을 계산하는 것과 같은 원리이다.
적분은 특정 지역으로 해류가 운반하는 물질의 총량이나 오염 물질이 바다 전체로 퍼지는 경로를 계산하는 데 사용된다.
- P135
도플러 효과란, 움직이는 물체가 발산하는 파동(소리나 빛의 파장)의 길이가 물체와의 거리 변화에 따라 달라지는 현상을 말한다. 예를 들어, 구급차가 다가올 때와 멀어질 때 사이렌 소리가 다르게 들리는 이유도 도플러 효과 때문이다. 이 원리를 교통 단속에 적용하면, 차량이 움직이면서 발생시키는 전파의 변화율을 이용해 차량의 속도를 계산할 수 있다.
- P139
오로라 활동의 강도를 나타내는 Kp 지수는 지구 자기장의 변화를 측정하여 계산된다. 마치 자동차의 속도 변화를 측정하듯, 시간에 따른 자기장의 변화율을 미분이라는 수학적 도구를 통해 정확히 계산하고, 전 세계 여러 관측소에서 얻은 자기장 변화 데이터를 퍼즐 조각을 맞추듯 적분이라는 방법으로 합쳐 지구 전체의 자기장 변화를 파악한다.
- P162
예컨대,
거대한 파도가 해안을 덮치는 모습이나 눈보라가 휘날리며 몽환적인 분위기를 연출하는 장면, 연기가 뿜어져 나오는 섬세한 표현은 나비-스토크스 방정식 덕분에 더욱 현실적이고 자연스럽게 구현될 수 있다. 이 방정식은 다음과 같은 수학식으로 나타낸다.
- P175
여기서 ‘학습률‘은 한 번에 얼마나 이동할지를 결정하는 값이다.
학습률이 너무 크면 최적의 해를 지나칠 수 있고, 너무 작으면 학습 속도가 느려질 수 있다. 기울기는 현재 위치에서 함수의 값이 가장 빠르게감소하는 방향을 나타낸다.
딥 러닝은 인류의 지식과 기술이 융합된 결정체이며, 경사 하강법은 그중심에서 빛나는 핵심 원리이다.
- P192
로트카- 볼테라 방정식은 시스템의 춤추는 듯한 변화, 즉 주기적 변동과 안정성, 불안정성을 조명하는 ‘시스템 역학의 나침반‘과 같다. 이 나침반은 자연 생태계는 물론, 복잡다단한 경제 시스템, 예측 불허의 전염병확산까지, 우리의 직관을 뛰어넘는 현상들을 해석하는 데 핵심적인 도구가 된다.
이 ‘나침반‘을 통해 우리는 복잡한 시스템의 숨겨진 패턴을 발견하고, 미래를 예측하며, 지속 가능한 공존을 위한 혁신적 해법을 모색할수 있다.
로트카-볼테라 방정식은 학문적 탐구와 정책 결정이라는 두 개의 날개를 펼쳐, 생태계 문제 해결이라는 거대한 목표를 향해 날아오른다. 결국,
자연과 사회, 그리고 우리 모두는 ‘공생‘이라는 아름다운 멜로디 속에서함께 춤춰야 한다.
- P201
이러한 나비 효과는 우리에게 작은 선택과 행동이 얼마나 큰 영향을 미칠수 있는지 상기시켜 준다. 따라서 우리는 항상 책임감 있는 행동을 해야 한다.
- P209
이처럼 미분과 적분은 단순히 수학적 도구를 넘어, 새 떼나 개미 집단처럼 많은 개체들이 상호작용하며 만들어내는 복잡한 현상을 이해하는 데매우 유용하다. 이러한 분석은 단지 자연현상에 그치지 않고, 교통 체증완화 방안, 효율적인 네트워크 설계, 질병 확산 예측 등 다양한 실생활 문제를 해결하는 데도 큰 도움을 준다.
창발 현상이 다양한 분야에서 어떻게 활용되는지 찾아본다면 이를 더깊이 이해할 수 있을 것이다.
- P213
라그랑주 점은 우주 탐사와 관측 기술에서 매우 중요한 역할을 한다. 이지점들은 두 개의 거대한 천체, 예를 들어 지구와 달 사이에서 중력이 균형을 이루는 특별한 위치로, 총 다섯 군데 존재한다.
- P217
