* 아이와 함께 160418
- 아이와 (기하학 기초를 위한) 수학 (도형) 공부하다가 나온 궁금증
명제) 직선은 점으로 채워져 있다. 또는 직선은 점으로 이뤄졌다.
아이에게 위 문장을 실감하겠냐고 물으니, 아이는 아무리 점을 찍어도 선이 다 안 메워질 것 같은 느낌이 든다고 한다. 이와 같은 느낌은 나 역시 어렸을 때 가졌던 생각이기도 하다. 이 궁금증을 현재의 나의 말로 바꾸면 다음과 같다.
궁금증 1] 대수적 개념인 무리수의 개념을 사용하지 않고, ‘유리수로써 직선을 채울 수 없다.’는 것을 증명할 수 있나? (다시 말하면 초등학생에게 도형을 통해 명제를 증명할 수 있나?)
궁금증 2] ‘유리수와 무리수로써, 직선이 (또는 실수가) 연속적이다.’는 어떻게 증명했나?
궁금증 3] 직선의 정의 ; 직선은 구체적인 정의가 없는 무정의술어이나, 직선은 양쪽으로 끝없이 뻗어나가는 곧은 선을 의미한다. 그렇다면 직선, 사선, 선분 등을 포함하여 곡선과 대비되는 용어가 있나? (다시 말해, 어떤 구간에서 미분 값이 상수인 도형을 지칭하는 기하학 용어는?)
궁금증 4] 직선을 양끝이 ‘무한히 뻗은 상태’와 ‘무한히 뻗어 나가는 상태’와 수학적 의미에는 어떤 차이가 있나?
《교양인을 위한 수학사 강의》 p122 수학을 산수, 대수, 기하 등과 같은 별도의 분야로 나누는 것이 일반적이지만, 이런 구분은 수학의 참 모습이리가보다 단지 인간의 편의에 따른 것이다. 겉보기에는 분명 다른 듯한 분야들일지라도 서로 간의 명확한 경계가 존재하지 않는다. 그러고 어는 한 분야에 속한 듯해 보이는 문제도 다른 분야의 방법으로 풀릴 수도 있다.
‘궁금증 2]’는 수리 철학관련 도서에 나온 내용을 기억을 못하는 듯.
