이런 계산이 가능한 무한한 지적 능력을 가진 존재를 ...

이런 계산이 가능한 무한한 지적 능력을 가진 존재를 처음 상상한 과학자가 바로 라플라스Pierre-Simon Laplace다.
그의 이름을 따서, 이 지적 존재를 ‘라플라스의 악마’라 부른다.
무한한 지적 능력을 가진 존재, 과거의 모든 것과 미래의 모든 것을 동시에 볼 수 있는 존재다.
라플라스의 악마에게는 내일 비가 올지 날이 맑을지도 이미 결정되어 있고, 비가 온다고 해도 내가 원래의 계획대로 극장에 갈지, 아니면 마음을 바꿔 집에서 책을 읽을지도 이미 결정되어 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (326/389p)

모든 것이 결정되어 있는, 과거와 미래가 단 하나의 길로 끊임없이 이어져 있는 라플라스의 악마가 사는 결정론의 세상에 균열을 만든 계기가 있었다.
20세기 초 양자역학은 우리가 눈으로 매일 보는 거시적인 물체가 아닌, 원자나 전자와 같은 작은 것들의 세상이 확률과 불확실성으로 움직인다는 것을, 미래는 측정 이전에는 정해지지 않는다는 것을 보여주었다.
라플라스의 악마가 사는 결정론의 세상에 두 번째 균열을 만든 것은 20세기 중반 이후 새롭게 떠오른 비선형동역학과 카오스의 세상이다. 라플라스의 악마가 걷는, 과거와 현재와 미래를 잇는 길이 사실 1차선이 아니라는 발견이다. 내가 과거로부터 한 줄로 뻗은 길의 현재 위치에서 몇 번째 차선에 서 있는지가 저 앞으로 이어진 미래의 갈림길 중 어느 길로 접어들지를 바꿀 수 있다는 거다. 문제는 사실 이보다 좀 더 미묘하다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (327-328/389p)

라플라스의 악마를 물리친 퇴마사가 바로 로렌츠Edward Lorenz다. 베이징에서 날개를 퍼덕인 나비 한 마리의 작은 영향으로 뉴욕의 날씨가 변할 수 있음을 우리에게 알려주었다. 결정되어 있다고 예측할 수 있는 것은 아니다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (328/389p)

F=ma
힘이 없다면 물체가 현재의 운동 상태를 계속 유지한다는 것이 뉴턴의 첫 번째 법칙이다.
첫 번째 법칙이 성립하는 좌표계(이를 관성 좌표계라고 한다)에서 물체의 운동을 기술하는 두 번째 법칙이 바로 F=ma다.
힘 F가 질량이 m인 물체에 작용하면, 이 물체의 가속도는 a=F/m로 적힌다.
물체의 가속도를 알면 물체의 속도 v를 적분을 이용해 구할 수 있고, 이를 한 번 더 적분하면 물체의 위치 x를 시간의 함수로 순차적으로 얻게 된다.
뉴턴의 운동법칙을 이용하면 현재의 물체의 운동 상태에 대한 정보로부터 시작해 미래 임의의 시점에서의 물체의 운동 상태를 알 수 있게 된다.
F=ma로 기술되는 자연현상의 미래는 결정론적으로 딱 하나로 주어진다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (329/389p)

이처럼 넣은 것과 나온 것이 정확히 같은 방식으로 비례해 늘어날 때 이 시스템을 ‘선형’이라 한다. 가로축에는 넣은 돈이 얼마인지, 세로축에는 자판기에서 나오는 커피가 몇 잔인지를 표시해 그래프로 그리면 곧은 선 모양이 되니 ‘선형’이라 부른다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (330/389p)

1차원 공간에서 움직이는 물체의 상태를 뉴턴의 고전역학의 틀 안에서 기술하려면 딱 두 개의 변수가 필요하다. 바로, 물체의 위치와 속도다.
이 물체의 상태를 그래프로 표시하려면 가로축에 위치를, 세로축에 속도를 표시하면 된다. 현재 위치 x=3에서 속도 v=2로 움직이고 있는 물체의 상태는 2차원 평면 위의 한 점 (3, 2)로 나타내면 된다.
물체의 운동 상태를 표시하는 이 점을 위상점phase point, 위상점이 들어 있는 공간을 ‘위상공간phase space’이라 부른다.
1차원에서 움직이는 물체 하나의 상태를 표시하려면 이처럼 2차원의 위상공간이 필요하다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (331/389p)

N개의 입자가 d차원 공간에서 움직이는 경우 위상공간은 몇 차원일까? N개 입자 모두의 한 시점에서의 상태가 위상공간의 딱 한 점으로 표현된다는 것이 중요하다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (332/389p)

뉴턴의 법칙이 결정론적이라는 의미는 위상공간 안에서 정확히 같은 위치에서 운동을 시작하면 궤적은 딱 하나로 유일하게 존재한다는 뜻이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (332/389p)

처음 시작한 위상공간 안의 위상점의 위치를 정확히 모르더라도 고전역학으로 예측한 미래가 많이 달라지지는 않기 때문이다. 태양, 지구, 달처럼 천체가 세 개인 경우의 역학 문제가 바로 ‘삼체문제’다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (333/389p(

즉, 삼체문제는 선형시스템이 아닌 ‘비선형시스템’이다.
푸앵카레의 발견은, 두 위상점을 아무리 가까운 위치에서 출발시켜도 결국 두 궤적 사이의 거리가 아주 커질 수 있음을 의미한다. 바로 비선형시스템의 예측 불가능성이다. 초기 위상점의 위치를 아무런 오차 없이 무한한 정확도로 측정하는 것은 당연히 불가능하다. 하지만 이런 어쩔 수 없는 초기의 작은 오차로 말미암아 위상공간에서 미래 궤적의 불확정성이 아주 커질 수 있다는 거다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (334/389p)

자연에는 해석적으로 풀리지 않는 비선형시스템이 선형시스템보다 훨씬 더 많다는 것을 잊지 말자.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (335/389p)

비선형시스템의 운동을 위상공간 안에서 시각화하면 프랙탈이 될 때가 많다. 비선형성이 지배하는 세상사에 예측할 수 있는 것이 얼마나 되겠는가.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (336/389p)

지프의 법칙Zipf’s law이라고 불리는 이 모양은...

지프의 법칙Zipf’s law이라고 불리는 이 모양은 많은 사람들에게 익숙한 바로 그 반비례 관계(1/x)를 보여준다. 즉, 단어 빈도가 지프의 법칙을 따른다는 말의 뜻은, 두 번째로 많이 등장하는 단어는 첫 번째 단어보다 1/2의 빈도로 쓰이고, 세 번째 단어는 첫 번째 단어보다 1/3의 빈도로 쓰인다는 의미로 이해하면 된다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (251/389p)

증가하지 않고 감소하는 기하급수도 생각해볼 수 있다. 예를 들어, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…의 식으로 매번 절반으로 줄어드는 급수도 기하급수다. 계산기를 눌러보면, 항의 크기가 급격히 줄어드는 것을 볼 수 있다. 이런 방식으로 급격히 줄어드는 기하급수의 n번째 항을 수식으로 적으면 1/2n의 꼴이 된다. 바로 지수함수다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (252-253/389p)

잠잠하다가 갑자기 확 어떤 일이 벌어지고, 또 한동안 잠잠하다가는 다시 어떤 일이 후다닥 여러 번 연달아 일어나는 현상을 ‘버스트burst’라고 한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (255/389p)

버스트
잠잠한 휴지기가 이어지다가 짧은 시간 간격을 두고 활발한 활동이 빈번히 일어나는 활동기가 발생하는 현상을 뜻한다. 뇌 안 신경세포들도 상대적으로 긴 휴지기 이후에, 짧은 시간 간격을 두고 연달아 발화하는 버스트를 보이기도 한다. 사람의 활동 중에도 버스트가 자주 관찰된다. 주어진 업무를 수행할 때도, 길고 짧은 휴지기 사이사이에, 업무에 집중하는 활동기가 존재하고는 한다. 사람의 행동 방식의 동역학적 특성을 연구하는 인간동역학human dynamics 분야에서도 인간 활동의 버스트 현상에 큰 관심을 가지고 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (259/389p)

자연에서 벌어지는 마구잡이random 사건 중 가장 대표적인 것이 불안정한 상태의 원자에서 입자가 튀어나오는 방사능 붕괴radioactive decay다. 입자가 튀어나온 시간을 모아서 연속한 두 붕괴 사건 사이의 시간 간격 t를 구해보면 확률분포가 나오는데, 이를 푸아송분포Poisson distribution라 부른다. 시간 간격이 다 고만고만하게 평균값 주변에 몰려 있는 마구잡이 분포라고 이해하면 된다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (261-262/389p)

바라바시는 논문에서 인간동역학human dynamics이라는 용어를 제안하면서, 사람들이 이메일을 받은 시간(t1)과 그 메일에 답장을 보낸 시간(t2)을 모아, 둘 사이의 시간 간격 t=(t2-t1)의 확률분포를 구했다. 결과는 놀랍게도 방사능 붕괴나 버스 도착과는 확연히 다른 멱함수power-law function (P(t)~t-a) 꼴이었다. 그 의미만 줄여 설명하면, 시간 간격 대부분은 짧아서, 우리는 그때그때 보자마자 많은 이메일에 답하지만, 어떤 이메일에는 정말로 오랜 시간이 지난 다음에야 답장을 보낸다는 뜻이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (262/389p)

서로 영향을 주고받으며 소통하는 사람들로 구성된 사회 안에서 사람들이 보여주는 시간에 따른 동역학적인 특성은, 몇 개의 구성요소만이 관여하는 단순한 자연현상과 다를 때가 많다. 사람은 많은 이들과 끊임없이 영향을 주고받는 사회적 존재이기 때문이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (263/389p)

푸아송분포
수학자이자 물리학자인 푸아송Simeon-Denis Poisson이 19세기에 발견한 확률분포를 말한다.
예를 들어, 한 가게에 1시간에 평균 10명의 손님이 온다고 해보자. 지금부터 1시간 안에 15명 이상의 손님이 올 확률을 구할 때 이용할 수 있다. 사건이 일어날 빈도의 기댓값이 λ일 때 그 사건이 일어난 횟수가 k일 확률은 푸아송분포에서 P(k)=e-λλk/k!가 된다. 매번 사건의 발생이 독립적이어야 한다는 조건이 필요하다.
위에 언급한 사건이 푸아송분포에 따라 일어난다면, 평상시보다 50%가 늘어나 15명 이상의 손님이 올 확률은 8.3%다.
스포츠 경기에서 한 선수의 경기당 득점도 푸아송분포를 따른다는 것이 밝혀지기도 했다. 선수의 득점은 독립적이라는 의미다. 전반전에 한 선수가 평시보다 훨씬 더 많은 득점을 올렸다고 해서, 후반전에도 득점을 많이 할 것을 기대하기는 어렵다는 얘기다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (271/389p)

그리고 거리의 평균을 구할 때 많이 쓰는 방법 중 하나가 바로 위치의 표준편차(혹은 위치의 제곱평균제곱근 값)를 구하는 거다. 간단히 계산해보면 걷기 시작한 후로 시간 t가 흘렀을 때, 만취자가 처음 위치에서 벗어난 거리는 루트t(=t1/2)에 비례한다는 것을 보일 수 있다. 즉, 처음 위치에서 멀어진 거리는 시간의 제곱근에 비례해 늘어난다. 거꾸로, 만약 원점에서 벗어난 거리를 재보니 루트 t의 꼴이 된다면 그 움직임이 마구걷기와 흡사하다고 결론을 내릴 수도 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (274/389p)

브라운이 관찰한 꽃가루처럼 마구잡이로 움직이는 운동을 브라운 운동, 그리고 이런 움직임을 보이는 입자를 브라운 입자라고 한다. 브라운 운동에 대해 성공적인 설명을 정량적으로 제시한 사람이 바로 유명한 아인슈타인Albert Einstein이다.
물리학자들은 1905년을 기적의 해라고 부른다.
그 한 해에 아인슈타인은 당시의 물리학 토대를 송두리째 바꾸는 세 편의 논문을 발표한다.
빛의 속성을 새롭게 밝힌 광전 효과에 대한 논문, 시간과 공간의 기존 관념을 뒤흔들어놓은 특수상대성이론에 대한 논문, 그리고 바로 이 글의 주제인 마구걷기를 하는 브라운 입자의 운동에 대한 논문이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (275/389p)

여러 생명체의 DNA 염기서열을 이용해 처음 위치로부터 거리의 평균값을 구해 ta의 꼴로 적으면 흥미롭게도 a의 값이 1/2보다 확연히 크다는 연구결과가 나왔다. 즉, DNA 염기서열은 A, T, G, C가 마구잡이로 배열된 것이 결코 아니며 정보가 들어 있음에 분명하다는 것을 간접적으로 보인 연구다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (278/389p)

직접 해보면 거리가 ta의 꼴로 변한다고 할 때 a=1/2에 아주 가깝다는 것을 알 수 있다. 따라서 주가의 변화는 술 취한 사람의 마구걷기와 흡사하지만, DNA 염기서열은 결코 마구걷기로 기술될 수는 없다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (278-279/389p)

마구걷기
가장 단순한 형태의 마구걷기는 술에 만취한 사람의 움직임과 닮았다. 1초에 한 번씩 확률 p로 동쪽으로 한 걸음, 확률 q(=1-q)로는 서쪽으로 한 걸음을 옮기는 사람의 움직임이 1차원 마구걷기다.식물학자 브라운이 현미경으로 관찰한 꽃가루의 브라운 운동도 마구걷기다. 꽃가루 입자는, 현미경으로는 관찰할 수 없는 주변 분자들의 마구잡이 열운동의 영향으로, 이리저리 움찔움찔 움직이는 마구걷기를 한다. 주식시장에서 주가의 움직임을 마구걷기로 기술하기도 한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (280/389p)

지수함수
한 일꾼이 1원으로 시작해 매일 전날 품삯의 2배를 달라고 하면, 한 달 후에는 하루 품삯이 얼마나 될까? 매일매일의 품삯이 늘어나는 것은 지수함수를 따라서 2x의 꼴이 되는데, 계산해보면 30일 뒤의 하루 품삯은 10억 원이 넘는다. 이처럼 지수함수는 아주 빠르게 늘어나는 함수다. 만약 f(x)=ax의 꼴로 적히는 지수함수에서 a<1이면 거꾸로 이 함수는 아주 빠르게 줄어든다. 신문지를 펼쳐놓고 33번을 연이어 절반으로 접으면 신문지의 폭은 원자 하나보다도 작아진다. xb의 꼴로 주어지는 멱함수에 비해, ax의 꼴로 적히는 지수함수는 a>1이면 아주 빠르게 늘어나고, a<1이면 아주 빠르게 줄어든다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (290/389p)

처음의 양을 1이라고 하고, 시간 t가 지나면서 그 양이 줄어드는 꼴이 일정한 반감기 T를 가지면 주어진 양은 (1/2)t/T의 꼴로 적힌다. 이 식에서, t=T면 처음의 1/2이 되고 t=2T면 1/4이 되므로 t가 T, 2T, 3T…로 늘어나면 1/2, 1/4, 1/8의 형태로 계속 절반씩 줄어들기 때문이다. 책의 반감기를 구하는 것이 의미가 있으려면, 이처럼 판매량이 지수함수의 꼴을 따라 시간이 지나면서 줄어들어야 한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (296/389p)

80 대 20의 법칙을 따르는 어떤 양 x의 분포함수 P(x)의 꼴을 계산해보면 P(x)~x-2.2이며, 이 경우 지니계수는 0.76 정도로서, 불평등도가 상당히 심한 경우에 해당한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (300/389p)

P(x)~x-2.8의 꼴을 이용해 계산해보면 우리나라 도서시장은 80 대 20 법칙이 아니라 64 대 36 법칙을 따른다는 이야기도 할 수 있다. 즉, 약 1/3의 책들이 전체 도서 총 판매량의 2/3 정도를 차지한다는 말이다. 책의 판매량에 대해 지니계수를 구하면 그 값은 0.38이어서 우리나라 사람들의 근로소득 지니계수인 0.47(2016년 추정치)보다는 작다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (301-389p)

우리는 매 순간 미래를 향해 한 걸음씩 시간의 축을 따라 걸어간다. 미래는 아직 오지 않았다. 그래서 한자로 未來다. 걸어온 길과 걸어갈 길은 분명히 다르다. 걸어온 길은 고개를 돌려보면 딱 하나 외길로 보이지만, 걸어갈 길은 짙은 안개 속에 싸여 한 치 앞도 보이지 않는다. 뉴턴의 고전역학은 무지의 안개를 몰아내고 우리 앞에 놓인 미래를 보여주었다. 그런데 아뿔싸! 안개 걷힌 미래는 외나무 다리였다. 고전역학의 결정론은 미래가 딱 하나로 이미(旣) 정해져 있어 기래(旣來)라 불러도 무방하다고 속삭인다. 내가 마음을 바꿔 다른 길을 택해도, 그렇게 마음을 바꿀 것도 이미 결정되어 있었다고 주장한다. 과거, 현재, 미래를 잇는 결정론의 삭막한 외길에서 우리는 과연 벗어날 수 있을까. 내일 걸어갈 길을 나는 내 맘대로 고를 수 있는 걸까.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (320/389p)

뉴턴Isaac Newton의 고전역학은 결정론의 세상을 보여준다. F=ma라는 한 줄의 식으로 적히는 뉴턴의 운동법칙은 대부분의 독자가 들어보았을 바로 그 유명한 식이다. 이 식의 오른쪽에 등장하는 a가 바로 가속도다. 뉴턴의 운동방정식은 힘(F)이 주어졌을 때 질량이 m인 물체의 가속도가 어떻게 결정되는지(a=F/m)를 우리에게 알려준다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (322-323/389p)

이처럼 뉴턴의 운동방정식을 통해 가속도를 구하면(a=F/m), 그로부터 물체의 미래 속도를 알 수 있다. 딱 한 시점의 속도가 아니라, 1초 뒤, 2초 뒤, 그리고 한참 후의 미래의 속도도 모두 알 수 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (323/389p)

사실 가속도는 속도의 미분(a=dv/dt)이고 속도는 물체의 위치의 미분(v=dx/dt)으로 적혀서 F=ma는 미분이 들어 있는 미분방정식이다. F=ma로부터 속도와 위치를 구하는 것은 미분의 반대 과정인 적분이다. 우주는 미분으로 기술되고 적분으로 움직인다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (324/389p)

그때 알았다. 아름다움은 대상의 속성이 아니다. 아름...

그때 알았다. 아름다움은 대상의 속성이 아니다. 아름다움은 대상과 나 사이의, 사랑과 비슷한 상호작용이다. 내가 준비되었을 때에만 찾아오는 관계 맺음이다. 길들여야 할 것은 여우만이 아니다. 스스로를 길들인 후에야 아름다움은 나를 찾아온다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (168/389p)

음악이든 그림이든, 아름다움은 결국 누적된 체험의 결과다. 준비된 사람만 대상에서 아름다움을 느낄 수 있다. 각자의 누적된 체험이 다르니, 아름다움은 서로 비교할 수 없다는 것도 알게 되었다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (169/389p)

비행기가 보통 10km 정도보다 낮은 고도로 나는 이유다. 더 올라가면, 공기가 날개를 위로 미는 힘인 양력이 약해지고, 연료를 태울 때 필요한 산소의 양도 줄어, 비행기가 날기 어려워진다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (172/389p)

지표면 부근에서의 대기 압력인 1기압은 물 10m에 해당한다고 기억하면 된다. 면적 1cm2, 높이 10m인 물기둥의 질량을 물의 밀도 1g/cm3를 이용해 계산하면 1kg이 되기 때문이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (175/389p)

과학은 세상을 보는 하나의 시선이다. 과학의 시선은 회의와 의심의 시선이다. 내가 아닌 다른 이도 같은 것을 보는지, 끊임없이 성찰한다. 만약 다르게 보면, 시선의 어떤 차이가 다름을 만드는지도 고민하고 토론한다. 더 나은 시선에 합의해 다음에는 더 잘 보기 위함이다. 인류가 함께 찾아낸 과학의 시선은 영원한 현재 진행형이다. 모든 것을 남김없이 볼 수 있는 것도 아니고, 세상을 더 잘 보는 새로운 시선이 미래에 얼마든지 등장할 수도 있다. 과학은, 믿을 수 있어서가 아니라, 의심할 수 있어 가치 있는 시선이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (183/389p)

이처럼 잣대를 바꾸면 전체의 길이나 면적이 변하는 것들이 자연에는 참 많다. 이런 기하학적인 구조를 ‘프랙탈fractal(혹은 쪽거리)’이라 한다. 수학적인 프랙탈은 유한(땅의 면적) 안에 무한(해안선의 길이)을 구현한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (187/389p)

김상훈 교수가 프랙탈 차원을 알아보기 위해 사용한 방법은 아주 흥미롭다. 앞에서 이야기한 잣대의 역할을 할 도구로 우리나라에서 사용되는 크기가 다른 네 개의 동전(500원, 100원, 50원, 10원)을 이용한 거다. 지도를 펼쳐놓고 남해의 섬들을 남김없이 모두 덮으려면 몇 개의 동전이 필요한지를 500원, 100원, 50원, 10원의 동전으로 바꿔가면서 세어보았다. 각 동전의 지름을 재서 이를 a로 이용하고, 각각의 동전이 섬들을 모두 덮기 위해 몇 개가 필요한지 세어 N을 얻었다. 이렇게 해서 ‘adN=상수’에서 d를 얻어보니, 우리나라 다도해의 섬들은 1.63차원의 프랙탈 모양으로 흩뿌려져 있음을 알 수 있었다. 지도와 동전, 그리고 좋은 아이디어만 있다면, 누구나 따라 구해볼 수 있는 우리나라 다도해의 프랙탈 차원이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (190/389p)

나뭇가지나 나무뿌리나 허파 안의 기관이나, 그리고 사람 몸에 퍼져 있는 혈관의 구조까지도 모두 프랙탈이다. 우리 모두의 가슴속에는 나무가 산다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (192/389p)

프랙탈
반듯한 정사각형은 모든 변의 길이를 똑같이 2배로 늘리면 전체 면적은 4배가 된다. 2를 두 번 곱해서 4가 되기 때문이다.
한편 정육면체는 변의 길이를 2배로 늘리면, 전체 부피는 2×2×2로, 2를 세 번 곱해 8이 되어 8배다.
이처럼 물체의 차원은 길이를 몇 번 곱해야 전체의 양이 되는지를 이용해 잴 수 있다. 정사각형은 2차원, 정육면체는 3차원 물체다.
자연에는 길이를 2배로 할 때, 전체의 양이 2나 3처럼 딱 떨어지는 정수가 아닌 2.3처럼 실수의 승수로 변하는 것들이 있다. 해안선의 전체 길이, 다도해에 늘어서 있는 전체 섬의 분포 등이 그렇다. 이런 기하학적인 모양을 프랙탈 혹은 쪽거리라 부른다. 프랙탈은 부분을 확대해서 보면 전체를 닮았다. 이를 프랙탈의 자기 유사성self-similarity이라 한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (192/389p)

암흑물질
은하의 변방에 있는 별들은 더 안쪽에 있는 다른 많은 별이 만들어내는 중력의 영향으로 은하의 중앙을 중심으로 공전한다. 한 별의 공전 속도를 측정하면 더 안쪽에 있는 다른 물질의 전체 질량을 추산할 수 있다. 천체관측을 통해, 은하 안에는 빛과 같은 전자기상호작용을 통해 우리가 직접 볼 수 있는 물질 이외에도 볼 수 없는 물질이 아주 많다는 것이 알려졌다. 암흑물질은 바로 이처럼 중력 상호작용은 해도 다른 상호작용은 거의 하지 않는, 아직 자세한 이해가 이뤄지지 않은 물질이다. 어두운 물질이라기보다는 투명한 물질에 더 가깝다. 우리 우주는, 팽창에 큰 영향을 미치는 암흑에너지(70%), 암흑물질(25%), 그리고 우리가 익숙한 보통의 물질(5%)로 구성되어 있다. 우리가 아직 모르는 것이 우주의 대부분인 95%다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (198/389p)

바로 카토그램, 즉 인구비례지도cartogram라 불리는 방식이다. 각 지역마다 인구가 크게 달라서, 실제의 지도 위에 정보를 표시하면 일종의 착시로 그 결과가 왜곡되어 보이는 것을 보정하는 방법이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (200/389p)

카토그램
우리나라 전체 지도가 있다. 서울은 인구에 비해 작아 보여 서울 안에 어떤 것이 있는지를 지도에서 찾아보기 어렵다. 만약 각 지역의 지도 위 면적이 그 지역의 인구에 비례하도록 지도를 바꾸어 다르게 그린다면, 인구가 밀집한 작은 지역의 정보가 좀 더 잘 표현된다. 이런 방식으로 그린 지도가 카토그램cartogram이다. 인구비례지도라고도 한다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (210/389p)

다른 아무런 음도 섞이지 않은 순수한 음정은 깨끗한 사인sin함수를 따라 시간에 따라 부드럽게 변하는 파동의 형태다. 악기가 도, 미, 솔의 음을 함께 내고 있다면, 진동수가 다른 세 개의 파동이 동시에 존재해 좀 더 복잡한 모양이 된다. 도, 미, 솔이 함께 있는 파동을 도의 파동, 미의 파동, 솔의 파동, 이렇게 세 성분의 합으로 나누어 표현하는 수학적인 방법이 있다. 이를 ‘퓨리에 변환’이라 부른다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (214/389p)

퓨리에 변환을 통해 소음을 줄이기도 하지만, 요즈음 고가의 헤드폰은 이와는 다른 물리학의 원리를 이용하기도 한다. 이런 소음 상쇄noise canceling 헤드폰의 원리도 상당히 흥미롭다. 헤드폰 밖의 소음을 일단 녹음한 다음에, 헤드폰 안에 녹음한 소음을 틀어주는 거다. 언뜻 생각하면 소음이 오히려 커질 것으로 짐작하겠지만 잘만 조절하면 헤드폰 안의 소음을 획기적으로 줄일 수 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (216/389p)

시간에 따라 진동하며 변하는 중력파의 경우에는 관찰된 파동을 여러 진동수를 가지는 개별 파동들의 합으로, 즉 진동수별로 파동을 분해하는 방법을 쓴 거다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (217/389p)

중력파
무거운 질량을 가진 별은 주변 시공간의 곡률을 변화시킨다.
별이 가만히 있다면, 주변 시공간의 곡률도 일정하게 유지되어 시간에 따라 변하지 않는다.
잔잔한 호수에 돌을 던지면 파동이 만들어져 퍼져 나가듯, 무거운 질량을 가진 별의 급격한 변화는 시공간의 곡률에 요동을 만들고 이는 파동의 형태로 퍼져 나간다.
중력으로 인한 시공간의 변형이 빛의 속도로 전파되는 중력파는 아인슈타인의 중력방정식에서 이론적으로 예측되었지만, 검출까지는 100년의 시간이 걸렸다.
2016년 레이저 간섭계 중력파 관측소LIGO에서 무거운 두 블랙홀이 하나로 합해질 때 만들어진 중력파를 검출하는 데 처음 성공했고, 2017년 노벨 물리학상 수여로 이어졌다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (220/389p)

결국 ‘직관’은 축적된 경험 위에 자리 잡은, 정제되고 결정화된 일반화의 힘에 붙은 다른 이름일 뿐이다.

좁고 깊게 사고하는 것이 집중이라면, 넓고 얕게 사고해 빠른 결정을 이끌어내는 힘이 직관이다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (225/389p)

아주 느린 사람의 정보처리 속도를 생각하면, 넓고도 깊은 엄청난 크기의 정보 덩어리를 사람의 뇌가 처리하려면, 폭을 줄여 깊게 보거나(집중), 얕지만 넓게(직관) 볼 수밖에 없지 않을까.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (227/389p)

인공지능
컴퓨터를 이용해 사람과 유사한 지능을 인공적으로 구현한 것을 말한다. 현재 인공지능의 구현에는 여러 층의 연결망 구조를 결합한 심층 인공신경망이 자주 이용된다.
인공신경망의 노드는 실제 신경세포와 유사하게 작동하고, 인공신경망의 학습도 실제 뇌의 신경망의 학습과정과 닮았다. 실제 뇌 안의 신경세포는 시냅스라는 구조를 통해 서로 연결되어 있고, 새로운 정보를 학습하는 과정에서 시냅스의 연결 강도가 변한다는 것이 알려져 있다. 인공신경망의 학습도 두 노드를 연결하는 링크의 가중치를 원하는 결과가 나오도록 적절한 학습규칙을 적용해 변화시키는 과정을 통해 이루어진다. 현재 인공지능 분야의 발전은 아주 빠르게 이루어지고 있어서, 우리 일상의 삶에 점점 더 큰 영향을 미치고 있다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (231/389p)

엔트로피 증가의 법칙은 외부와 끊임없이 영향을 주고받는 생명체와 같은 비평형 상태의 ‘열린계open system’에는 적용될 수 없다.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (238/389p)

가만히 있는 것은 흐르지 않는다. 흐름은 변화의 다른 이름이다. 시간이 지나면서 어떤 일이 벌어지는지를 이해하면, 과거로부터 출발해 미래를 얘기할 수 있게 된다. 우리가 살아가는 세상에서는 미래를 예측하기 어려울 때가 많다. 하지만 사건이 일어나는 패턴을 파악하게 되면, 구체적인 예측은 하지 못해도 통계적인 예측은 할 수 있다. 구체적인 변화를 수치로 파악하기는 어려워도 대강의 흐름은 이해할 수 있다. 어제 개봉한 영화를 내일 몇 명이나 볼지 정확히 예측하진 못해도, 일주일 뒤 관객 수가 첫날 관객 수의 몇 퍼센트 정도일지는 얘기할 수 있다. 변화의 여러 데이터를 모아 흐름의 패턴을 파악해보자.

-알라딘 eBook <관계의 과학> (김범준 지음) 중에서 (247/389p)

때문에, 이 수많은 범죄자들 가운데 희생자들을 실제로...

때문에, 이 수많은 범죄자들 가운데 희생자들을 실제로 죽인 것에서 얼마나 가까이 또는 멀리 있었던가 하는 것은, 그의 책임의 기준과 관련된 한에서는 아무런 의미가 없다. 그와 반대로, 일반적으로 살상도구를자신의 손으로 사용한 사람으로부터 멀리 떨어져 있을수록 책임의 정도는 증가한다.(342p)

그는 자신을 완전히 통제하고 있었다. 아니 그 이상이었다. 그는 완전한 자기 자신의 모습을 하고 있었다. 그의 마지막 말로 남긴 기괴한 어리석음보다도 이 점을 더 분명히 증명할 수 있는 것은 없을 것 이다. 그는 자신이 신을 믿는 자라고 분명히 진술하면서 자기는 기독교인이 아니며 죽음 이후의 삶을 믿지 않는다는 점을 일반적인 나치스 식으로 표현하기 시작했다.
그러고는 그는 "잠시 후면, 여러분, 우리는 모두 다시 만날 것입니다. 이것이 모든 사람의 운명입니다. 독일 만세, 아르헨티나 만세, 오스트리아 만세. 나는 이들을 잊지 않을 것입니다"고 말했다. 죽음을 앞두고 그는 장례 연설에서 사용되는 상투어를 생각해 냈다. 교수대에서 그의 기억은 그에게 마지막 속임수를 부렸던 것이다.
그의 ‘정신은 의기양양하게 되었고’, 그는 이것이 자신의 장례식이라는 것을 잊고 있었다.
이는 마치 이 마지막 순간에 그가 인간의 연약함 속에서 이루어진 이 오랜 과정이 우리에게 가르쳐 준 교훈을 요약하고 있는 듯했다.
두려운 교훈, 즉 말과 사고를 허용하지 않는 악의 평범성(banality of evil)을. (349p)

To a Jew this role of the Jew...

To a Jew this role of the Jewish leaders in the destructionof their own people is undoubtedly the darkest chapter of thewhole dark story. It had been known about before, but it hasnow been exposed for the first time in all its pathetic and sordid detail by Raul Hilberg, whose standard work The Destruc-tion of the European Jews I mentioned before. In the matterof cooperation, there was no distinction between the highlyassimilated Jewish communities of Central and Western Europeand the Yiddish-speaking masses of the East. (117-118p)

He was in completecommand of himself, nay, he was more: he was completely himself. Nothing could have demonstrated this more convincingly than the grotesque silliness of his last words. He began by stating emphatically that he was a Gottgläubiger, to express in common Nazi fashion that he was no Christian and did not believe in life after death.
He then proceeded: "After a shortwhile, gentlemen, we shall all meet again. Such is the fate of all men. Long live Germany, long live Argentina, long live Austria. I shall not forget them." In the face of death, he had found the cliché used in funeral oratory. Under the gallows, his memory played him the last trick; he was "elated" and he forgot that this was his own funeral.
It was as though in those last minutes he was summing up the lesson that this long course in human wickedness had taught us-the lesson of the fearsome, word-and-thought-defying banality of evil.
(252p)