일반상대성이론을 우주에 적용할 때

  According to Einstein's equations, a universe with a high density of matter will not only be positively curved, but will also ultimately contract, bringing all points in space closer together as time progresses. On the other hand, a lower density universe will have a negatively curved geometry and will expand forever. (pp. 28-29) 

"아인슈타인의 방정식에 따르면 물질 밀도가 높은 우주는 양(+)으로 휘어질 뿐만 아니라 궁극적으로 수축한다. 즉, 시간이 흐름에 따라 공간 내의 모든 점들이 가까워진다. 반면 물질 밀도가 낮은 우주는 음(-)으로 휘어지며, 영원히 팽창한다." 

일반상대성이론이 중력을 설명하는 방식

  According to Newton's laws of motion, in the absence of any outside influences, an object will continue to move at the same speed and in the same direction, along a straight line. In Einstein's view, this is still true, but Einstein's idea of a straight line is not the same as what Newton had in mind. When mass or other energy distorts the shape of the surrounding space, the straight lines within that space become curved. When you drive Einstein's car near a space-distorting object, your trajectory curves in the direction of the object, just as if you were being pulled toward it. This distortion of space and time acts just like an attractive force--just like gravity. In fact, this is exactly what gravity really is. (p. 21)

"뉴튼의 운동법칙에 따르면, 외부의 영향이 없을 때 물체는 동일한 방향으로, 즉 직선을 따라 일정한 속력으로 운동한다. 아인슈타인의 관점에서도 이것은 여전히 사실이다. 하지만 아인슈타인의 직선은 뉴턴의 직선과 다르다. 질량이나 에너지가 주변 공간의 모양을 변형시키면 이 공간에서 직선은 휘어진다. 공간을 변형시키는 물체 주변에서 "아인슈타인의 자동차"를 운전하면 경로는 물체 방향으로 휘어지게 된다. 이는 마치 물체가 잡아당기는 것과 같다. 시간과 공간의 변형은 인력, 즉 중력과 똑같이 작용한다. 사실 이것이 정확히 중력의 본질이다."

아인슈타인에 따르면 중력은 힘이 아니다. 물체는 여전히 직선으로 운동한다. 하지만 공간이 휘어져서 마치 "인력"이 작용하는 것처럼, 물체가 휘어진 경로를 따라가는 것처럼 보인다. 

현대 우주론이 당면한 문제들

저자인 댄 후퍼는 미국의 우주론자이자 입자물리학자이며 시카고 대학 교수이다. 그는 이 책에서 현대 우주론이 당면한 세 가지 문제를 나열한다. 우주의 대부분을 차지하고 있다는 암흑물질이 무엇인지, 왜 우리 우주에 물질이 반물질보다 훨씬 많은지, 그리고 마지막으로, 우주의 가속팽창을 설명하기 위해 도입한 암흑에너지는 무엇인지이다. 그리고 그는 이러한 우주의 '미스테리'가 빅뱅으로 탄생한 우주 초기의 몇 초 동안과 연관되어 있으리라 생각한다. 

최근 입자물리학과 우주론은 답보 상태이다. 많은 기대를 걸었던 고에너지 실험과 정밀 관측 결과가, 예측하지 못했던 새로운 물리학이나 문제 해결에 대한 실마리를 주지 않았기 때문이다. 오히려 이러한 실험들은 몇몇 유력했던 이론들을 배제해버리는 효과를 낳았다. 저자는 우리가 우주를 바라보는 데 사용하는 '렌즈'가 잘못 되었을지도 모른다는 일말의 불안감을 이야기하면서도, 새로운 실험, 관측, 그리고 아이디어가 미스테리를 해결하리라 낙관한다. 비관론자인 내게는 '렌즈'에 대한 언급이 눈에 더 크게 들어온다. 저자는 이러한 미스테리들을 "loose ends"라고 언급하며 조금만 더 연구를 지속하면 매듭을 지을 수 있을 것처럼 언급하지만, 사실 이런 상황은 19세기 말에 우리가 이미 겪은 바 있다. 당시에도 몇몇 '사소한' 문제들--흑체복사의 문제, 물질의 방사성--을 제외하고는 물리학의 모든 문제가 해결됐다고 생각했다. 그리고 이러한 "loose ends"들은 해결될 것이기에 물리학의 끝이 다가오고 있다고 많은 물리학자들이 생각했다. 하지만 역사는 어떻게 전개됐는가? 간단한 "loose ends"라고 생각했던 것이 혁명을 잉태하고 있었고, 20세기 초 물리학에는 상대성이론과 양자역학의 두 기둥이 태어나며 우리가 자연을 바라보는 눈을 완전히 바꾸었다. 

역사는 다시 반복될까? 알 수 없다. 어쩌면 현대 우주론과 입자물리학이 맞닥뜨린 문제가 너무나 거대해서 인간의 이성으로는 이해할 수 없을지도 모른다. 그러면 우주는 영원히 미스테리로 남으리라. 

수학이 ‘진리‘가 아니라는 정황에 대한 수학자들의 반응

  The persistence of mathematicians in searching for some basic truths is understandable. To accept the fact that mathematics is not a collection of diamonds but of synthetic stones, after the centuries of brilliant successes in describing and predicting physical phenomena, would be hard for anyone and especially for those who might be blinded by pride in their own creations. Gradually, however, mathematicians granted that the axioms and theorems of mathematics were not necessarily truths about the physical world. Some areas of experience suggest particular sets of axioms and to these areas the axioms and their logical consequences apply accurately enough to be taken as a useful description. But if any area is enlarged the applicability may be lost. As far as the study of the physical world is concerned, mathematics offers nothing but theories or models. And new mathematical theories may replace older ones when experience or experiment shows that a new theory provides closer correspondence than an older one. (p. 97)

"(그럼에도 불구하고) 수학자들이 계속해서 기본적 진리를 찾는 데 매달린 것은 이해할 만하다. 수 세기 동안 물리 현상을 기술하고 예측하는 데 엄청난 성공을 거두었던 수학이 다이아몬드가 아니라 인조 보석의 집합이라는 사실을 받아들이는 것은, 그 누구에게나, 특히 자신들이 만든 창조물에 대한 자부심으로 눈이 먼 이들에게는 어려운 일이었을 것이다. 하지만 점차적으로 수학자들은 수학의 공리와 정리들이 반드시 물리 세계에 대한 진리는 아니라는 사실을 인정하게 되었다. 어떤 영역의 경험은 특정한 공리 집합을 제시하며, 이 공리들과 그것들의 논리적 귀결은 이 영역에 충분히 정확하게 적용되어 이를 경험에 대한 유용한 기술로서 받아들일 수 있게 한다. 하지만 이들이 더 확장된 영역으로 적용된다는 보장은 없다. 물리 세계 연구에 수학은 이론, 즉 모형만을 제공할 뿐이다. 경험 또는 실험에 대해 새로운 수학 이론이 이전 이론보다 더 밀접한 대응관계를 제공한다고 판명되면 새로운 이론은 이전의 이론을 대신하게 된다."

수학이 ‘진리‘라는 생각에 대한 도전

수학이 '진리'이며 자연 현상을 기술하는 진실된 도구라는 생각이 18세기부터 19세기에 들어서며 깨지기 시작했는데, 그 첫 번째 이유로 이 책에서 드는 것이 비유클리드 기하학이다. 자연은 유클리드 기하학으로 기술되며, 이것이 '수학이 자연의 언어이며 인간이 만든 것이 아닌 원래부터 있는 것'이라는 생각을 낳게 된 큰 이유였다. 수학을 인간이 만든 것이라고 생각했던 칸트조차 유클리드 기하학이 인간 인식의 기본이며 이를 통해 객관적 지식에 이를 수 있다는 주장을 펼쳤다. 하지만 비유클리드 기하학은, 자연에 대응되지 않지만 모순이 없는 새로운 수학 체계가 있을 수 있음을 보여줌으로써 수학의 진실성에 흠집을 냈다. 수학이 자연에 대응하는 진리의 체계라는 주장을 더 이상 할 수 없게 된 것이다. 

비유클리드 기하학은 나중에 일반상대성 이론의 기술을 위해 쓰인다는 반전이 있기도 하다. 수학이 원래 우리가 생각했던 '진리'가 아니라는 증거는 이후에 계속해서 나오게 된다.